Comportamento de livre escala nas sequências de hailstone usando o mapa de Collatz

The Collatz conjecture, perhaps the most elementary unsolved problem in mathematics, claims that for all positive integers n, the map n 7→ n/2 for even n and n 7→ 3n+1 for odd n reaches 1 after a nite number of iterations. We examine the Collatz map's orbits, known as hailstone sequences, and...

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Detalhes bibliográficos
Autor principal: Santos, Desiane Maiara Gomes dos
Outros Autores: Mohan, Madras Viswanathan Gandhi
Formato: doctoralThesis
Idioma:pt_BR
Publicado em: Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Assuntos:
Física
Avalanche
Sistema complexo
Lei de potência
Movimento browniano
Sequências de granizo
Endereço do item:https://repositorio.ufrn.br/handle/123456789/44909
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spelling ri-123456789-449092022-05-02T15:41:51Z Comportamento de livre escala nas sequências de hailstone usando o mapa de Collatz Scale-free behavior in hailstone sequences generated by the Collatz map Santos, Desiane Maiara Gomes dos Mohan, Madras Viswanathan Gandhi http://lattes.cnpq.br/9502411491585338 http://lattes.cnpq.br/1995273890709490 Luz, Marcos Gomes Eleuterio da 69568731920 http://lattes.cnpq.br/2883331787707769 Anselmo, Dory Helio Aires de Lima http://lattes.cnpq.br/0554474279738500 Raposo, Ernesto Carneiro Pessoa http://lattes.cnpq.br/4321118621178584 Correa, Marcio Assolin http://lattes.cnpq.br/2531075321550052 Viana, Ricardo Física Avalanche Sistema complexo Lei de potência Movimento browniano Sequências de granizo The Collatz conjecture, perhaps the most elementary unsolved problem in mathematics, claims that for all positive integers n, the map n 7→ n/2 for even n and n 7→ 3n+1 for odd n reaches 1 after a nite number of iterations. We examine the Collatz map's orbits, known as hailstone sequences, and ask whether or not they exhibit scale-invariant behavior, in analogy with certain processes observed in real physical systems. We develop an e cient way to generate orbits for extremely large n's (e.g., higher than n ≈ 103,000), allowing to statistically analyze very long sequences. We nd strong evidence of a scale-free power law for the Collatz map. We analytically derive the scaling exponents, displaying excellent agreement with the numerical estimations. The scale-free sequences seen in the Collatz dynamics are consistent with geometric Brownian motion with drift, which is compatible with the validity of the Collatz conjecture. Our results lead to another conjecture (conceivably testable through direct, nonetheless very time consuming, numerical simulations): given an initial n, the average number of iterations needed to reach 1 is proportional, to lowest order, to log[n]. Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico - CNPq A conjectura de Collatz, possivelmente o problema mais elementar na matemática ainda não resolvido, a rma que para todos os inteiros positivos n, o mapa n 7→ n/2 (n par) e n 7→ 3n + 1 (n ímpar) atinge 1 após um número nito de iterações. As órbitas do mapa de Collatz que aqui consideramos, também conhecidas como sequências de granizo, foram geradas buscando entender se exibem ou não comportamento invariante de escala, em analogia com certos processos observados em sistemas físicos reais. Desenvolvemos uma maneira e ciente de gerar órbitas para n's extremamente grandes (por exemplo, maior do que n ≈ 103,000), permitindo analisar estatisticamente sequências muito longas. Com essa maneira e ciente, encontramos evidência muito forte de uma lei de potência sem escala para o mapa de Collatz. Derivamos analiticamente os expoentes de escala, apresentando excelente concordância com as estimativas numéricas. As sequências sem escala vistas na dinâmica de Collatz são consistentes com o Movimento Browniano Geométrico com Drift, que é compatível com a validade da conjectura de Collatz. Nossos resultados levam a outra conjectura (concebivelmente testável por meio de simulações numéricas diretas, embora demoradas): dado uma condição inicial n, o número médio de iterações necessárias para chegar a 1 é proporcional, para a ordem mais baixa, a log[n]. 2021-11-12T16:51:29Z 2021-11-12T16:51:29Z 2021-04-23 doctoralThesis SANTOS, Desiane Maiara Gomes dos. Comportamento de livre escala nas sequências de hailstone usando o mapa de Collatz. 2021. 83f. Tese (Doutorado em Física) - Centro de Ciências Exatas e da Terra, Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Natal, 2021. https://repositorio.ufrn.br/handle/123456789/44909 pt_BR Acesso Aberto application/pdf Universidade Federal do Rio Grande do Norte Brasil UFRN PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM FÍSICA
institution Repositório Institucional
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